Iloczyn skalarny Iloczyn wektorowy Suma wektorów

Wektory w opisie ruchu

W fizyce mamy do czynienia zarówno z wielkościami skalarnymi jak i wielkościami wektorowymi. Wielkości skalarne takie jak, np. masa, objętość, czas, ładunek, temperatura, praca, mają jedynie wartość. Natomiast wielkości wektorowe, np. prędkość, przyspieszenie, siła, pęd, natężenie pola, posiadają wartość, kierunek, zwrot i punkt przyłożenia. Poniżej przypominamy podstawowe działania na wektorach.

Rozkładanie wektorów na składowe

W działaniach na wektorach operuje się składowymi tych wektorów wyznaczonymi w wybranym układzie odniesienia.

Składowe wektora wyznaczamy umieszczając początek wektora w początku układu współrzędnych i rzutując koniec wektora na poszczególne osie wybranego układu współrzędnych.

$Wektor {OPENAGHMATHJAX()}\bf r{OPENAGHMATHJAX} i jego składowe {OPENAGHMATHJAX()}r_{x}{OPENAGHMATHJAX}, {OPENAGHMATHJAX()}r_{y}{OPENAGHMATHJAX}, {OPENAGHMATHJAX()}r_{z}{OPENAGHMATHJAX} w pewnym układzie współrzędnych$

Rysunek 1: Wektor $ \bf r $ i jego składowe $ r_{x} $, $ r_{y} $, $ r_{z} $ w pewnym układzie współrzędnych

Suma wektorów

W wybranym układzie współrzędnych wektor jest definiowany przez podanie jego współrzędnych, np.

(1)

$ {\bf a} =(a_{{1}},a_{{2}},a_{{3}})\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{\bf b}=(b_{{1}},b_{{2}},b_{{3}}) $

Zwróćmy w tym miejscu uwagę na przyjętą konwencję. Wszystkie wektory wyróżnione są w tekście czcionką wytłuszczoną.

Sumą dwóch wektorów jest nowy wektor o współrzędnych

(2)

$ {\bf a}+{\bf b}=(a_{{1}}+b_{{1}},a_{{2}}+b_{{2}},a_{{3}}+b_{{3}}) $

Geometrycznie jest to przekątna równoległoboku zbudowanego na tych wektorach. Różnicę dwóch wektorów przedstawia druga przekątna (zob. Rys. 2 ).

Rysunek 2: Suma i różnica wektorów

Iloczyn skalarny

Iloczyn skalarny dwóch wektorów $ a \cdot b $ jest liczbą (skalarem) równą iloczynowi wartości bezwzględnych (długości) tych wektorów pomnożony przez cosinus kąta między nimi

(3)

$ {\bf a}\cdot {\bf b}=|{\bf a}|\cdot |{\bf b}|\text{cos}\alpha= \text{ab}\text{cos}\alpha $

Iloczyn skalarny jest często stosowany do opisu wielkości fizycznych. Przykładem wielkości fizycznej, którą można przedstawić jako iloczyn skalarny dwóch wielkości wektorowych jest praca. Praca jest iloczynem skalarnym siły i przesunięcia.

Iloczyn wektorowy

Iloczyn wektorowy dwóch wektorów $ {\bf a} \times {\bf b} $ jest nowym wektorem $ {\bf c} $, którego długość (wartość bezwzględna) jest równa iloczynowi długości tych wektorów i sinusa kąta pomiędzy nimi

(4)

$ |{\bf c}|=\text{c}=\text{ab}\text{sin}\alpha $

Wektor $ {\bf c} $ jest prostopadły do płaszczyzny wyznaczonej przez wektory $ {{\bf a}} $ i $ {\bf b} $. Zwrot jego jest określony regułą śruby prawoskrętnej lub regułą prawej ręki. Jeżeli palce prawej ręki zginają się w kierunku obrotu wektora $ {\bf a} $ do wektora $ {\bf b} $ (po mniejszym łuku) to kciuk wskazuje kierunek wektora $ {\bf c}={\bf a} \times {\bf b} $ tak jak na Rys. 3